Notions fondamentales - Conditions Minimales
1 - Présentation
2 - Méthode
3 - Résolution par type d’Exemples
I - Présentation
Ce test évalue vos capacités en résolution de problèmes (comme le sous – test « Calcul »). Il est inhabituel car non classique, en effet vous avez l’habitude de résoudre un problème à partir de données complètes et d’arriver à la conclusion en utilisant les données de l’énoncé et aucune autre. Or dans ce sous - test l’énoncé ne contient pas assez de données pour répondre directement. Il vous est donc proposé deux autres éléments pour dire si oui ou non l’on peut résoudre.
La manière de répondre peut également vous induire en erreur, apprenez par cœur les correspondances suivantes :
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Réponse |
Propositions |
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A |
(1) permet seule de répondre, (2) ne le permet pas |
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B |
(2) permet seule de répondre, (1) ne le permet pas |
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C |
(1) ET (2) permettent de répondre, aucune séparément ne le permet. |
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D |
(1) ou (2) séparément permettent de répondre |
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E |
(1) ET (2) ne permettent PAS de répondre |
Cette forme de raisonnement est plus proche de la réalité où vous avez rarement tous les éléments et devez vous en procurer d’autres pour résoudre une situation. Le tout est de savoir rechercher juste ce qu’il faut, ni trop (si (1) ou (2) conviennent pourquoi rechercher les deux), ni trop peu (si (1) ET (2) sont nécessaires ne pas rechercher les deux ne sert à rien).
Et faites très attention au moment de reporter votre réponse sur la feuille. Il est facile de confondre A et D ou B et D par exemple !
Prenons un exemple par type de réponse, vous allez vite comprendre.
« Quelle est la masse de kérosène dans un camion citerne de 20 000 litres ? »
(1) la densité du kérosène est environ 0,72.
(2) la masse du camion est de 10 tonnes.
Réponse A. (2) ne donne aucune information utile et n’a rien à voir avec la question. Par contre (1) permet seule de répondre soit A. En effet si M est la masse de kérosène alors M = 20 000*072 = 14 400 kg via (1).
Exemple 2. « Marie passe un examen et elle obtient 14/20. Combien ce test comporte t’il de questions ? »
(1) Il y a plus de bonnes réponses que de mauvaises.
(2) Il y a 6 mauvaises réponses ;
Utilisons (2) car (1) ne donne aucune indication exploitable. Si n est le nombre de questions du test alors nombre (n – 6)/n = 14/20 d’où 20xn – 120 = 14xn et 6xn = 120 donc n = 20. (1) n’apporte pas d’information pertinente mais (2) permet seule de répondre soit B.
Exemple 3.
« Que vaut le nombre abc (nombre à trois chiffres) ? »
(1) La somme des chiffres de abc vaut 17 (a + b + c = 17)
(2) abc est un multiple de 47
Testons le plus simple soit (2), sachant que abc est un nombre à trois chiffres. Les multiples de 47 sont 47, 94, 141, 188, 235 etc. On ne peut donc conclure de suite, (2) ne suffit pas. Prenons 141, la somme de ses chiffres vaut 1 + 4 + 1 =6, ce qui ne convient pas. Prenons 188, la somme de ses chiffres vaut 1 + 8 + 8 =17, ce qui convient. Donc il faut (1) ET (2) pour répondre soit C.
Exemple 4 « x/40 > y/35 »
(1) 7*x > 8*y
(2) 5*x > 12*y
Soit nous partons de l’énoncé pour vérifier les deux conditions ou une des deux, soit nous partons des conditions et vérifions ou pas l’énoncé.
Partons de 7*x > 8*y, une simple transformation donne x/8 > y/7, en multipliant les deux cotés par 1/5 on obtient 1/5 *x/8 > 1/5 *y/7 soit exactement x/40 > y/35. (1) permet de répondre, est-ce que (2) aussi ? La réponse A n’est pas encore sûre vérifions avec la condition (2). x/40 > y/35 revient à x > 40*y/35 ou x > 8/7*y or 5*x > 12*y donne x > 12/5*y or 12/5 > 8/7 puisque 12*7 > 8*5 car 84 > 40 donc (2) permet aussi de répondre, au final (1) OU (2) permettent de répondre donc D.
Exemple 5 « a > b ? »
(1) a² > b²
(2) a + 7 > b + 5
Si l’on considère (2) a + 7 > b + 5, cela revient à a + 2 > b ce qui n’entraine pas que a > b, (2) ne permet pas de répondre. a² > b² entraine que a² - b² > 0 ou (a – b)*(a + b) > 0 soit a – b et a + b positifs ou a – b et a + b négatifs. Si a – b < 0 alors a < b et si a – b > 0 alors a > b. On ne peut conclure même avec (1). (1) ET (2) ne permettent PAS de répondre donc E.
Un dernier conseil avant d’aller plus loin, revoyez la partie calcul c’est indispensable pour maitriser les notions abordées ici plus simplement mais avec un autre mode de raisonnement. Si vous ne le faites pas vous allez perdre un temps important à essayer de résoudre des problèmes assez simples or la rapidité et l’exactitude des réponses sont deux conditions pour être bon au Tage Mage.
II - Méthode
Lire toutes les questions jusqu’à la dernière et repérer les questions faciles, souvent ce sont celles avec les énoncés les plus courts. Commencez par celles là.
Identifiez rapidement à quelle notion se rattache l’énoncé. Est-ce un calcul de surface ? Un enchainement de propositions logiques ? Une estimation dans une équation ?
Une manière possible de procéder ressemble à un arbre de possibilités :
« Ok » = la proposition permet de répondre. « Pas ok » = la proposition ne permet de PAS de répondre
Remarquez que la réponse D, « (1) ou (2) séparément permettent de répondre », ne peut être représentée ici, s’en méfier.
En lisant simplement les corrections des exemples précédents et en les assimilant vous aurez des points, mais vous irez assez lentement car vous ferrez tous les calculs. Parfois ce n’est pas la meilleure méthode, il suffit de tester les réponses.
Par exemple « Un gâteau long de 70 cm est partagé en trois parts inégales. Quelle est la longueur de la plus grande part ? »
(1) La différence entre la longueur de deux parts est de 8 cm et le 3ème morceau mesure 1 cm.
(2) Une part mesure 37 cm. »
Soyons judicieux. D’après (2) un morceau mesure 37 cm pour une longueur totale du gâteau de 70 cm, il reste donc 70 – 37 = 33 cm pour les deux autres. Le morceau le plus long est donc forcément de 37 cm.
Ayez des réflexes ! La plupart des notions sont simples, si vous voyez « a² - b² = 0 » pensez immédiatement que (a – b)*(a + b) = 0 d’où a = b ou a = - b.
De même « la somme des chiffres de AB est égale à 9 » visualisez que A + B = 9.
Et que dire de « x/12> y/40 » ? N’est –ce pas plus simple d’écrire 40*x > 12*y puis 20*x > 6*y et enfin 10*x > 3*y ? etc.
Ne vous arrêtez pas à la 1ère réponse facile. Non, souvent l’autre sert également soit au même titre que la première (« OU » réponse D) Soit comme complément indispensable à la première (« ET » réponse C)
Au même titre que la première (« OU » réponse D)
Exemple 1 « L’entier appelé x est- il divisible par 45? »
(1) x est divisible par 630
(2) x est divisible par 945
Réponse D. Il suffit de vérifier si 630 et 945 sont divisibles par 45. 630 = 14x45 est divisible par 45 donc x est divisible par 45. Doit – on s’arrêter ici ? Non puisque 945 = 21x45 est AUSSI divisible par 45 donc x est divisible par 45 que ce soit avec (1) ou (2).
Complément indispensable à la première (« ET » réponse C)
Exemple 2 «
Une tirelire contient des pièces de 10 et 20 centimes. Combien y a-t-il de pièces? »
(1) la somme totale de la tirelire s’élève à 2 euros 50
(2) le nombre de pièces de 20 centimes est strictement supérieur à 11.
Réponse C. (1) indique la somme totale mais non la répartition des pièces. (2) le précise. Remarquer que x et y sont des nombre entiers et que x ne pourra prendre que des valeurs entières imapires puisque l’’énoncé peut se ramener à deux équations à deux inconnues, le nombre x de pièces de 10 cts et le nombre y de pièces de 20 cts. Il faut donc les deux propositions. En effet (1) 0,1x + 0,2y = 2,5 et (2) y>11. On voit alors que seule la solution x = 1 convient d’où 1 + 11 = 12 pièces. Vérifions : 0,1*1 + 0,2*12 = 0,1 + 2,4 = 2,5.
Sachez détecter les types de réponse E. Parfois aucune des deux propositions ne permet de résoudre le problème car trop imprécise ou impossible à classer :
Exemple 3 « Qui est le coureur le moins rapide ? »
(1) Irina est plus rapide que Sophie ;
(2) Paul est plus lent que Irina.
La classification donne I > S et P < I . Mais on ne sait pas placer Sophie par rapport à Paul ! Le coureur le moins rapide est donc soit Paul soit Sophie. (1) ET (2) ne permettent PAS de répondre
III - Résolution d'exercices types
Nous présentons ici la majorité des types d’exercices qui peuvent apparaître dans ce sous – test du Tage Mage. Comme pour la partie calcul vous trouverez soit une notion soit plusieurs que sont critères de divisibilité, carrés, cubes, identités remarquables, fractions, pourcentages, moyennes, équations et systèmes d’équation du premier degré, périmètre, surfaces, volumes, densité, vitesses, débits etc.
Si une seule de ces notions ne vous est pas connue, n’allez pas plus loin et revoyez là ou révisez au moins ce qui est rappelé dans la suite. Une nouveauté ici: de petits exercices de logique.
Enoncés avec des propriétés de nombres
Savoir simplifier des fractions, reconnaître des identités remarquables, des carrés et des cubes de 1 à 10 etc. Il importe de connaître par cœur
(a + b)2 = a2 + b2 + 2*a*b
(a - b)2 = a2 + b2 - 2*a*b
(a + b)*(a-b) = a2 - b2
« Quelle est la valeur de n? »
(1) n² - 23 = 77
(2) n3 - 10 n² = 0
(1) donne rapidement n² = 77 + 23 = 100 donc n = 10 ou n = - 10. (2) n3 - 10 n² = 0, retravaillée donne n²*(n – 10) = 0 donc n = 0 ou n = 10. Les propositions (1) ET (2) permettent de répondre que n = 10. Réponse C.
Enoncés avec inégalités ou comparaison
« Trois matelots ont un poids moyen de 80kg. Le moins lourds pèse-t-il au moins 40 kg?
(1) le matelot le plus lourd pèse 100kg ;
(2) l’un des matelots pèse 90 kg.
Si 3 matelots ont un poids moyen de 80kg, l’ensemble aura un poids de 240 kg. (1) indique qu’un des matelots pèse 100 kg donc les deux autres pèsent 240 – 100 = 140 kg or (2) indique qu’un autre pèse 90 kg, le dernièr pèse donc 140 – 90 = 50 kg donc au moins 40 kg. Les propositions (1) ET (2) permettent de répondre. Réponse C.
« X est-il plus petit que y? »
(1) x - y - 2 < 0
(2) x - y + 5 < 0
(2) x - y + 5 < 0 équivaut à x - y < - 5 or - 5 < 0 d’où x - y < 0 et x < y. (2) permet de répondre mais (1) ne donne aucune indication puisque x - y - 2 < 0 entraine que x - y < 2 mais pas x - y < 0. Seul (2) permet de répondre. Réponse B.
Enoncés avec des %, des variations etc.
Se souvenir que une augmentation de 5% de 130€ par exemple correspond à un nouveau prix P’ = 130 + 130*5/100 = 130 + 1,3*5 = 130 + 6,5 = 136,50 €. Une diminution de 10% d’un prix initial de 85€ correspond à un nouveau prix P’ = 85 - 85*10/100 = 85 – 85*0,1 = 85 – 8,5 = 76,5 €.
« A quel prix Abdu vend-il son kilo de mandarines ?
(1) il en a acheté 30kg à 45 euros et veut les revendre le triple du prix d’achat.
(2) s’il effectue une remise de 20% par rapport à ce prix de vente, le kilo de mandarines revient à 3,60 euros.
Les deux propositions permettent de répondre séparément. En effet revendre le triple des kilo de mandarines achetées 45€ les 30 kg revient d’abord à les acheter à 45/30 = 1,5 €/kg et de tripler donc de les vendre 3*1,5 = 4,5 €/kg. (1) permet de répondre. Mais (2) aussi puisque (1 - 20/100)*p = 3,60 d’où (1 - 0,20)*p = 3,60 d’où 0,80*p = 3,60 et p = 3,60/0,80 = 36/8 = 19/4 = 4,50 €. Réponse D.
« Une action du CAC 40 cotée au premier marché a augmenté de 5% en un an. Quelle est la cotation de départ? »
(1) 8 actions achetées au départ et revendues deux ans après ont rapporté 160 euros de bénéfice.
(2) le prix final est de 420 euros.
(2) donne directement la cotation de départ puisque P’ = 215 mais également P’ = 1,05*P d’après l’énoncé donc 1,05*P = 420, d’où l’on déduit P = 420/1,05 = 1,05*4*100/1,05 = 400 €. (1) indique un bénéfice de 160/8 = 20 € par action qui représente 5% de l’action donc 5/100*p = 20 d’où p = 20/0,05 = 40/0,1 = 400 €. Les propositions (1) OU (2) permettent de répondre. Réponse D.
Enoncés avec périmètres, surfaces
Les surfaces lient généralement deux grandeurs, longueur et largeur par exemple. Il faut les deux pour calculer la surface. Donc deux équations ou utiliser judicieusement les propositions (1) et/ou (2).
« Luna hérite d’un terrain de forme rectangulaire, la longueur du terrain a été augmentée de 10 m, et la largeur aussi. Quelle est la nouvelle aire du terrain ? »
(1) L’aire initiale du terrain était de 4000 m².
(2) Le périmètre initial du terrain était de 260 m.
On cherche l’aire après modifications soit S’ = (l + 10)*(L + 10) si l est la longueur initiale et L la largeur initiale. (1) ne permet pas de répondre mais indique que S = 4000 = l*L.
Il est inutile de chercher en détail la longueur l et la largeur L puisque S’ = l*L + 10*(l + L) + 100 or (2) précise que p = 2*(l + L) = 260 d’où S’ = S + 5*p + 100 = 4000 + 5*260 + 100 d’où S’ = 4000 + 1300 + 100 = 5400 m². Les propositions (1) et (2) permettent de répondre. Réponse C.
Enoncés avec vitesses, débits
Une vitesse est V = d/t, une distance sur un temps, mesurée en m/s ou km/h. S’il manque une des deux données impossible de calculer la 3ème.
« Une moto voiture part de Marseille vers Valence. Quelle est son heure d’arrivée ?«
(1) le motard part à 11h12 et fait une pause de 12 minutes ;
(2) sa moyenne est de 110 km/h quand il n’est pas en pause.
A chaque fois il manque soit le temps soit la distance, aucune des deux propositions ne permet de répondre. Réponse E.
Enoncés logiques
Les propositions sont de type A ð B, retenir que si A ð B est vraie alors non B ð non A est également vraie. Par contre si A ð B, il est faux de dire que B ð A en général
Se souvenir que si A ð B et B ð C alors nécessairement A ð C.
« Alain pêche le crabe quand il est triste. Marie et Alain ne pêchent que les crustacés. De quelle humeur est Alain aujourd’hui ? »
(1) Marie pêche des crustacés aujourd’hui.
(2) Alain ne pêche PAS de crabe aujourd’hui.
Par exemple « Alain pêche le crabe quand il est triste » se traduit par « Alain triste ð Alain pêche le crabe » donc « Alain ne pêche PAS le crabe ð Alain non triste (ou gai) » est vraie aussi. Sous - entendu dans ce contexte Alain est gai puisque(2) Alain ne pêche PAS de crabe aujourd’hui. Par contre la proposition (1) ne fournit aucune indication exploitable, donc seul (2) permet de répondre. Réponse B.