Notions fondamentales - Section Calcul (2/2)
V - Fraction, règle de trois, et pourcentages (calcul, simplification)
VI - Equations et inéquations
VII – Géométrie
VIII - Autres notions
V - Fraction, règle de trois, et pourcentages (calcul, simplification)
Un ratio est un rapport entre deux nombres donc de forme A/B. Il peut être utilisé de diverses manières comme la règle de trois, le calcul de pourcentage, la notion de vitesse, de débit etc.
5.1 Fraction
Une fraction se simplifie selon A = a/b + c/d = (a*d + b*c)/b*d. Non ? Essayez de simplifier A = ¾ + 7/9 qu’obtenez vous ? En fait A = (3*9 + 4*7)/36 = (27 + 28)/36 = 55/36, expression la plus simple possible.
Lorsque l’on divise cela revient à multiplier par l’inverse ainsi B = a/c/d vaut a*(d/c). Vous ne me croyez pas ? Essayez, B = 17/3/4 = ?, en fait B = 17*4/3 = 68/3.
Exemple 1. Simplifier le plus possible A = (8/9 - 4/5)/(6/5 – 9/4)
a) 18/47 b) - 16/189 c) - (4/9)2 d) 9
Réponse b. Calculons le numérateur (en haut) et le dénominateur (en bas), il vient A = (40 – 36/45)/(36 - 45) ou A = (4/45)x(- 21/20). Diviser par une fraction revient à multiplier par son inverse donc A = (4/45)x(- 20/21) = - 4x20/45x21 = - 16/189
Exemple 2. Au mas, Lou Ravi récolte 0,7 tonne de noix qu’il expédie en trois lots. Le premier représente les 2/9 de sa récolte, le second lot représente les 25/12 du reste. Quelle quantité de noix peut-il encore vendre après ces deux envois (en kg) ?
a) 236 b) 226 c) 378 d) 452
Réponse c. Ce qui se traduit par 2/9xR + 25/12x[(R - 2/9xR)] = 700 soit 2/9xR + 25/12x(7xR/9) ou R/9x[2 + 25x7/12] = 700 soit Rx199/108 = 700 d’où R = 700x108/199 en arrondissant R = 700x108/200 = 7x108/2 = 7x54 = 378 kg
5.2 Règle de trois
Dix objets identiques coûtent 22 €. Combien coûtent 15 de ces objets ? Lundi 6 juin 2011, dans son émission matinale, le journaliste de RMC et de BFM TV pose à Luc Chatel, le ministre de l’Éducation nationale, ce problème issu du cahier d’évaluation des élèves de CM2. Le coup classique. Moment de réflexion pour Luc Chatel qui, perdu, finit par répondre 16,5 € au lieu de 33 €. Seriez – vous aussi…mauvais que le ministre ?
Si x correspond à A et si y correspond à B alors x.B = y.A d’où par exemple y = x.B/A.
Exemple 1. Pendant les soldes Marion gagne 70 € en travaillant 8h. Combien gagnera t-elle en travaillant 20 h ?
a) 175 b) 198 c) 220 d) 104
Réponse a. En une heure elle gagne 70/8 soit 35/4 ou 8.75 € de l’heure. En 20 h elle aura donc 20*8.75 = 175 €.
Exemple 2. Max jeune auto - entrepreneur débutant dit à son banquier : "En un trimestre j'ai gagné ton salaire mensuel ». Quel est ce salaire si a la fin de l'année Max a gagné 12 000 € ?
a) 5 000 b) 8 000 c) 3 000 d) 4 000
Réponse c. Max gagne 12 000/12 = 1000€ donc 3000 sur un trimestre, le salaire demandé.
Exemple 3. La banque Allthemoneyback reçoit 16 000 chèques et après vérification des 800 premiers, on s'aperçoit que 100 d'entre eux comportent des erreurs notables et ne peuvent être exploités en l’état par les ordinateurs de traitement automatisé. Si la même proportion d'erreur est la même sur l’ensemble des chèques, combien de chèques seront exploitables ce jour là ?
a) 3 000 b) 8 000 c) 2 500 d) 2 000
Réponse d. La proportion d'erreur est de 100/800 soit 1/8, appliqué à l’ensemble des chèques cela représente 16 000*1/8 = 2000 chèques
5.3 Pourcentages (calcul, simplification)
Pour les pourcentages, rappelez-vous que a % d’une quantité vaut a/100 de cette quantité (ainsi, 5 % d’une quantité vaut 5/100 de cette quantité ou 0,05 fois cette quantité).
Exemple 1. La neige rend 5 % de volume en fondant. Quel est alors la quantité d'eau sur un toit de gymnase formé d’une dalle circulaire de 10 m de rayon et recouvert de 20 cm de neige (en litres) ?
a) 124 b) 324 c) 3240 d) 1324
Réponse b. Le volume du cylindre ainsi formé, d’épaisseur 20 cm et surface 3,14*102 = 314 est 314*0,2 = 62,8 m3 ou 62 800 l soit 0,05*62,8*1000 = 324 l.
Exemple 2. A la naissance, le cerveau possède 100 milliards de neurones. Nous en perdons chaque jour environ 50 000. Si nous vivons 80 ans quel % en reste t-il ?
a) 55 % b) 35 % c) 25 % d) 85 %
Réponse d. Ne pas faire de calculs compliqués mais regrouper en puissances de 10. La durée de vie en jour, en négligeant les années bissextiles à 366 jours, est N = 80 x 365 donc nous perdons P = 50 000xN ou P = 5x104x8x10x365 = 40x365x105 = 4x365x106 = 1460 x106 ou encore P = 1,46 x109 soit P = 1,46 milliards donc le % restant sera p = 1 – 1,46 = 0,854 soit 85,4 % arrondi à 85 %
Exemple 3. Lilian reçoit environ 300 mails par jour ; il est abonné à plusieurs listes de diffusion et à des lettres commerciales en plus de son courriel normal. Il en lit 90 % dont il garde 30 % et garde 20 % des non lus. Combien efface t-il de mails non lus ?
a) 40 b) 150 c) 24 d) 36
Réponse c. Faire un arbre de répartition. Il n’en lit pas 10 % puisqu’il en lit 90 % et efface 80 % de non lus puisqu’il n’en garde que 20 %. Il efface donc 0,80 x 0,10 x 300 = 24 mails non lus par jour.
Exemple 4. Un auteur a succès, tire chacun de ses romans à 600 000 exemplaires en France, 120 000 en Angleterre et 280 000 en Allemagne. L'agent prend 20 % du prix hors taxes, l'éditeur 25 %, la SACEM demande 5 % par exemplaire H.T et le réseau de distribution prend 15 %. Sans oublier l'imprimeur qui se fait rémunérer à hauteur de 15 %. Le prix du livre au public est de 16 € T.T.C dans chaque pays et la TVA est de 6 %. Que perçoit au final l'auteur du livre par exemplaire vendu ?
a) 12,20 b) 8,20 c) 2,40 d) 3,20
Réponse d. Le total des prélèvements intermédiaires est de P = 0,20 +0,25 + 0,05 + 0,15 +0,15 = 0,80, il reste donc 1 – 0,80 = 0,20 soit 20 % du prix TTC du livre à l’auteur soit p = 0,20x16 = 3,20 €
5.4 Les variations
La variation d’une valeur finale Vf depuis une valeur initiale Vi vaut A = (Vf-Vi)/Vi, si A>0 alors il s’agit d’un accroissement, si A
Exemple 1. Quelle est l’augmentation de volume de mon aquarium dont le volume passe de 0,90 m cube à 1 00 m cube si je rajoute le contenu du bocal du poisson rouge?
a) 18% b) 11% c) 20% d) 10%
Réponse b. Un calcul direct donne A = (1 – 0,9)/0,9 ou A = 0,1/0,9 ou A = 1/9 soit A = 0,111 ou + 11 % en arrondissant.
Exemple 2. Le loyer est augmenté de 6 % cette année à la reconduction de mon bail. Je payais 650 € par mois avant, combien vais-je devoir payer avec le nouveau bail ?
a) 710 b) 660 c) 672 d) 689
Réponse d. Dans ce cas A vaut 6/100 = 0,06, Vi = 650 € et nous cherchons Vf. D’où 0,06 = (Vf – 650)/650 ou 0,06*650 = Vf – 650 ou 39 = Vf – 650 donc Vf = 650 + 39 donc Vf = 689 €.
5.5 Moyennes : simples, pondérées
Il existe plusieurs types de moyenne : arithmétique (simple ou pondérée) ou quadratique. Il suffit ici de connaître les moyennes arithmétiques simples ou pondérées.
a) Moyenne simple de n nombres = somme des n nombres/n
Exemple. La moyenne de 5 nombres vaut 15. En enlevant un des nombres, la moyenne redescend à 14. Que vaut le nombre éliminé ?
a) 19 b) 17 c) 15 d) 18
Réponse a. Si a est le nombre cherché et A la somme des autres nombres, il vient 15 = (a + A)/5 et 14 = A/4 d’où a = 75 – A avec A = 56 d’où a = 75 – 56 = 19
b) Moyenne pondérée de n nombres affecté chacun d’un coefficient : (somme des produits des n nombres par leur coefficient)/n
Exemple 1. Dans une salle où sont assises 9 personnes, la moyenne d’âge est de 25 ans. Dans une salle voisine où sont assisses 11 personnes, la moyenne d’âge est de 45 ans. Les deux groupes se rassemblent. Quelle est la moyenne d’âge de ce groupe ?
a) 39 b) 27 c) 42 d) 36
Réponse d. m = (25x9 + 11x45)/(9 + 11) = (225 + 495)/20 = 720/20 = 72/2 = 36
Exemple 2. La moyenne de 6 temps de course est 12 et celle de 12 autres temps est 10. Quelle est la moyenne générale ?
a) 9,7 b) 11,7 c) 10,7 d) 13,7
Réponse c. On cherche la moyenne de ces 18 temps de courses soit m = (6*12 + 12*10)/18 ou m = (72 + 120)/18 = 192/18 = (180 + 12)/18 = 10 + 12/18 = 10 + 2/3 = 10,66… retenons 10,7.
Exemple 3. Un rédacteur passe 2 minutes ( = 2’) sur une question de type 1, 4’ sur une de type 2, 6’ sur une de type 3 et 10’ sur une question de type 4. Sur 90 questions à rédiger il y a 5 questions de type 1, 20 de type 2, 43 de type 3 et 22 de type 4. Quel est le temps moyen pour réaliser une question ?
a) 4’10’’ b) 6’30’’ c) 5’50’’ d) 8’40’’
Réponse b. Il s’agit d’une moyenne pondérée d’où T1Q = (5x2 + 20x4 + 43x6 + 22x10)/90 = (10 + 80 + 258 + 220)/90 = (310 + 258)/90 = 568/90 = 6,31’ on arrondi à 6’30’’
5.6 Entraînement au calcul mental
Vous aurez à manipuler les opérations +, -, * et / et devrez savoir passer de l’une à l’autre. Par exemple diviser par une fraction revient à multiplier par son inverse. Apprenez vos tables par cœur, ainsi que les 12 premiers carrés et cubes. Sachez simplifier une fraction.
Exemple. Avant de calculer une addition, estimez un ordre de grandeur et regroupez de manière astucieuse, par exemple : Milou a acheté un blouson à 120 €, une paire de chaussures à 54 € et un pull à 21 €. Combien a-t-elle dépensé en tout ?
a) 180 b) 195 c) 188 d) 170
Réponse b. Une estimation de l’ordre de grandeur est S ≈120 + 50 + 20 ≈ 190 €. Le calcul précis donne 120 + 54 + 21 = 120 + 75 = 195.
Exemple 2. Donnez un ordre de grandeur des nombres√2 et √6.
a) 1,2 et 2,2 b) 2,4 et 3,5 c) 1,4 et 2,5 d) 1,6 et 2,9
Réponse c. Il suffit de les encadrer par des carrés connus. Il vient 1
Exemple 3. Donnez la valeur de la plus proche de 8002 x 0.3999
a) 320 b) 3120 c) 3200 d) 3800
Réponse c. 0.3999 vaut environ 0.4 et 8002 se ramène à 8000 d’où 8000*0.4 = 800*4 = 3200.
Exemple 4. Groupez judicieusement les termes pour calculer rapidement A = 17 + 48 + 23 + 68 + 12 + 52 + 414.
a) 482 b) 634 c) 128 d) 542
Réponse b. A = 17 + 23 + 48 +12 + 68 +52 + 414 = 40 + 60 + 120 + 414 = 220 + 414 = 634
Sachez interpréter des expressions complexes de type « que valent les trois quart du tiers de la moitié de 900 ». Commencer par la fin : la moitié de 900 vaut 450, le tiers de 450 vaut 150 et donc les ¾ de 150 valent 112,5.
Exemple 5. Enfin sachez estimer des quantités : que valent les 5/3 de 6h48mn ?
a) 9h28 b) 10h20 c) 11h20 d) 8h56
Réponse c. Remarquer que 6 et 48 sont divisibles par 3 d’où 6h48/3 = 2h16, et donc 5*2h16 = 10h80 ou 11h20mn.
VI - Equations et inéquations
De très nombreux énoncés reviennent à établir correctement une équation c’est à dire une relation entre les différentes valeurs du texte. Il faut repérer l’inconnue à calculer et se concentrer sur la recherche de cette inconnue. Une autre technique, parfois plus rapide, consiste à tester les valeurs de l’énoncé sachant qu’au final une seule réponse convient.
Dans tous les cas entrainez-vous à choisir des inconnues pertinentes et des noms qui ne prêtent pas à confusion (si la part de la somme S que gagnent Paul, Cathy et Léa, suite à un héritage, est à déterminer, écrire p + c + l = S. Par contre si la part de la somme S que gagnent Paul, Pierre et Paola, suite à un héritage, est à déterminer, écrire p + p’ + p’’ = S).
6.1.Equations et systèmes d’équation du premier degré
Au final vous obtenez une expression de type a .X + b = 0. Dans ce cas X = - b/a et basta. Dans le cas d’un système, rarement plus de 3 équations, vous êtes supposé appliquer les techniques de substitution ou de combinaisons linéaires. Parfois il suffit de tester les réponses proposées. Voyons sur des exemples.
Exemple 1. Anna, Bertrand et Charlie ramassent 80 potirons dans le champ de Mr Duclos. Anna a ramassé 10 potirons de moins que Bertrand qui en a ramassé 15 de plus que Charlie. Combien de potirons Anna a-t-elle ramassé ?
a) 20 b) 25 c) 35 d) 40
Réponse b. Soit a le nombre de potirons ramasés par Anna, b celui de Bertrand et c celui de Charlie. Poser (1) a +b+ c = 80 puis (2) a = b – 10 et (3) b = c + 15. On cherche a d’où (1) a + (a + 10) + (b – 15) = 80 ou (1) a + (a + 10) + (a+ 10 – 15) = 80 soit 3xa = 75 donc a = 25.
Exemple 2. Lors d’une compétition de natation 200 personnes se trouvent dans et autour de la piscine. Il y a des enfants, des parents et des sportifs qui concourent. On compte 3 fois plus d’enfants que de sportifs et six fois plus de parents que de sportifs. Combien y a-t-il d’enfants ?
a) 60 b) 54 c) 80 d) 36
Réponse a.
Ici on pose l'équation avec x = enfants, y = sportifs, z = parents,
On a donc, x + y + z = 200 => 3y + y + 6y = 200 => 10y = 200 => y=20 => x=60 et z=120
On obtient donc qu'il y a, 60 enfants
Exemple 3. Alain a 3 fois l’âge de Bébert et 20 de moins que Charlie. Dans 5 ans ils auront 112 ans à eux trois. Alain a donc aujourd’hui ?
a) 45 b) 33 c) 39 d) 53
Réponse b. Ce qui se traduit par (1) a = 3xb puis (2) a = c – 20 et enfin (3) a + 5 + b + 5 + c + 5 = 112 ou (3) a + b + c = 112 – 15 = 97 d’où en ajoutant (2) et (3) : 2xa + b = 77 en combinant avec (1) il vient 6xb + b = 77 d’où 7xb = 77 et b = 11 d’où à = 3xb = 3x11 = 33
Exemple 4. Un groupe de bergers se donnent rendez–vous dans la bergerie de l’un d’eux avant la transhumance. Ils arrivent tous avec leur chien « de berger » et un chien « Patou ». On compte 36 têtes et 120 jambes et pattes. Combien y a-t-il de chiens ?
a) 24 b) 28 c) 17 d) 22
Réponse a. Tester les réponses : « a » est correct car alors chien = 24 soit 24 + 12 = 36 têtes et 4*24 + 2.12 = 120 jambes et pattes.
Exemple 5. Nadia doit appeler pour un jeu radio, l‘appel est facturé 1,34 € puis 0,34 € la minute (mn). Elle appelle 3 fois avant d’obtenir une standardiste et pouvoir enfin jouer. Au total elle dépense 6,06 € et chaque appel a eut la même durée. Combien dure un appel (en mn) ?
a) 3 b) 1,5 c) 2 d) 0,5
Réponse c. Si d est cette durée, 1,34x3 + 0,34x3xd = 6,06 soit 4,02 + 1,02xd = 6,06 d’où d = (6,06 - 4,02)/1,02 ou d = 2,04/1,02 = 2
6.2.Equations du second degré
Elles sont utiles notamment dans les calculs sur des surfaces ou lorsque apparaissent deux variables dont l’une s’exprime n fonction de l’autre. Au final vous obtenez une expression de type a*X2 + b*X + c = 0.
Ne courez pas à la résolution par calcul du discriminant ?, essayez des racines (= solutions) évidentes avant, par exemple les valeurs -2, -1, 0, 1 ou 2. Vous gagnerez du temps !
Si vraiment il le faut alors calculez ? = b² - 4*a*c. Si ?0 alors 2 solutions (« racines ») différentes. Et si ? = 0 alors une solution unique. ?>0, les deux solutions sont x1 = - b - √? /2.a et x2 = - b + √? /2. ? = 0, la solution est x = -b/a.
Tenez que vaut ? = b² - 4*a*c si 3*x² + 2*x – 5 = 0 ? Facile, il suffit d’écrire ? = b² - 4*a*c = 2² - 4*3*(-5) = 4 + 60 = 64> 0 donc deux solutions. De plus 64 = 8² donc √? = 8, les deux racines sont x1 = - b - √? /2.a et x2 = - b + √? /2. ? ou x1 = (- 2 - 8 )/6 et x2 = (- 2 + 8 )/6 ou x1 = -10/6 et x2 = 6/6 soit x1 = -5/3 et x2 = 1. Si vous aviez essayé des racines évidentes, 1 convenait…
Résumons :
|
Signe de ? |
solutions |
|
< 0 |
0 |
|
= 0 |
1 double |
|
> 0 |
2 |
Exemple. Pour réaliser des rideaux Marie a acheté du tissu pour 1152 rials. Si le vendeur avait accepté une remise de 32 rials par mètre de tissu, Marie aurait obtenu 6 mètres de plus en payant le même prix. Combien de mètres de tissu Marie a-t-elle acheté ?
a) 24 b) 12 c) 20 d) 16
Réponse b. Soit n le nombre de mètres de tissus et p le prix par mètre, on obtient deux équations qui conduisent à une seule du 2ème degré. En effet la (1) est n*p = 1152 si pas de remise mais si remise on obtient la (2) soit (n + 6)*(p – 32) = 1152. On cherche n n’est – ce pas ? En identifiant (1) et (2) il vient n*p = (n + 6)*(p – 32) ou n*p = n*p + 6*p – 32*n -192 donc (3) 6*p – 32*n -192 = 0. Remplaçons p par sa valeur en fonction de n (c’est lui que l’on cherche) dans n*p = 1152, alors p = 1152/n ce qui conduit à l’équation du second degré (3) soit 6*1152/n – 32*n -192 = 0, d’où (3) : 32*n² + 192*n – 6*1152 =0 dont la solution est n = 12 en calculant le discriminant.
Attention ! Certains exercices semblent se rapporter à du second degré mais en fait se simplifient en 1er degré.
Exemple. Les dimensions d’une feuille d’or sont a et b. Si on augmente a de 3 cm et b de 2 cm, la surface augmente de 37 cm² mais si on diminue a de 2 cm et b de 1 cm alors la surface diminue de 16 cm². Que valent a et B ?
a) 4 et 6 b) 6 et 5 c) 5 et 8 d) 3 et 7
Réponse c. La surface initiale est S = a*b, lorsque l’on augmente les dimensions on obtient (a + 3)*(b + 2) = a*b + 37 ce qui se simplifie par 2*b + 3*a = 31. Maintenant si on diminue les dimensions, il vient (a - 2)*(b - 1) = a*b - 16 ce qui se simplifie par a + 2*b = 18. En x la seconde par 2 et en lui otant la première équation on trouve que b = 5 donc a = 18 – 2*b = 18 – 2*5 = 8 d’où (a, b) = (5,8).
6.3.Inéquations et système d’inéquations du 1er degré
Au final vous obtenez une expression de type a*X + b < 0 ou a*X + b > 0. Dans ce cas X < - b/a ou X > - b/a. Si besoin visualiser sur le plan XY en prenant le point o (0,0) pour savoir quelle partie du plan est concernée.
Exemple. Un théâtre propose deux formules d’abonnement « simple » et « fréquent ». Avec « simple », le client paye un abonnement annuel fixe de 150 euros et assiste à un nombre de représentations illimitées. Avec « fréquent », il paye un abonnement de 70 euros, puis 8 euros à chaque pièce. A partir de combien de représentations la première formule devient elle plus avantageuse ?
a) 9 b) 10 c) 12 d) 20
Réponse b. Soit x est le nombre de pièces auxquelles le client assiste. Ceci revient alors à comparer 70 + 8x (de la formule « simple ») à 150 (de la formule « fréquent »). Il faut donc chercher x tel que 70 + 8x >150 ou 8x>80 soit x>10.
6.4.Optimisation.
Il s’agit de déterminer la position optimale d’une valeur x connaissant celle de y.
Exemple. Un vendeur de sandwiches dépense 75€ par semaine pour réaliser ses sandwiches vendus 2,5€ pièce. Combien doit- il en vendre pour réaliser un bénéfice représentant au moins 140% de son investissement ?
a) 72 b) 66 c) 88 d ) 52
Réponse a. Soit n le nombre de sandwiches cherché. Le bénéfice espéré est B = (140/100).75 soit 140% de 75€, ce qui vaut = 1,4*75 = 105€. Il faut donc que 2,5*n - 75 > 105 soit 2,5*n > 180 soit n> 180/2.5 ou n>360/5 soit n>72.
VII - Geometrie
7.1. Figures/Périmètre/Surfaces/Volumes.
La plupart des questions sur cette partie suppose de connaître par cœur le périmètre soit le tour, la surface et le volume des figures géométriques courantes.
Apprenez au moins ce tableau
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Figure |
périmétre |
surface |
|
Carré (coté a) |
4.a |
a2 |
|
Rectangle (l,L) |
2.(l + L) |
l.L |
|
Trapèze (B,b) |
|
(B + b).h/2 |
|
Cercle/disque (R) |
2. ∏.R |
∏. R2 |
|
Sphère (R) |
|
4.∏. R2 |
|
Cylindre (R,h) |
|
2.∏. R.h |
Celui – ci peut être utile également :
|
Figure |
volume |
|
Cube (coté a) |
a3 |
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Brique (l,L,h) |
l.L.h |
|
Sphère (R) |
4.∏. R3/3 |
|
Cône (R, h) |
∏. R3/3 |
|
pyramide |
B.h/3 |
|
Cylindre (R,h) |
∏. R2.h |
Regardons de plus près sur des exemples fréquents au concours.
Exemple 1. ABC est un triangle rectangle en A. On dessine les cercles C1, C2 et C3 d’aires respectives S1, S2 et S3. C1, C2 et C3 ont respectivement pour diamètre [BC], [CA] et [ AB]. Que vaut S1 en fonction de S2 et S3 ?
a) S1²= S2² + S3² b) S1= S2 - S3 c) S1= S2 + 2*S3 d) S1= S2 + S3.
Réponse d. Faire un dessin. Si ABC est rectangle en a, d’après le théorème de Pythagore a² = b² + c² si CB = a, BA = c et AC = b. Il faut donc retrouver ce type de relation en calculant l’aire des trois cercles. Or S1 = ∏. (a/2)2 puis S2 = ∏. (b/2)2 et enfin S3 = ∏. (c/2)2. Vous voyez le lien ? Mais oui a² = 4* S1/∏ puis b² = 4* S2/∏ et enfin c² = 4* S3/∏ or a² = b² + c² , il vient ainsi 4* S1/∏ = 4* S2/∏ + 4* S3/∏ donc S1= S2 + S3.
Exemple 2. Une échelle est à poser à 3m d’un mur de 4m de haut. Quelle devra être sa longueur (en m) ?
a) 6 b) 7 c) 5 d) 4
Réponse c. Le sol, le mur et l échelle forment un triangle rectangle au pied du mur, si l est la longueur de l’échelle alors l² = 3² + 4² = 9 + 16 = 25 = 5² donc l = 5
Exemple 3. Un pré en forme de trapèze a une grande base de 100m et une petite de 80m, sa hauteur valant 50m. Quelle est sa surface (en m²) ?
a) 2500 b) 3500 c) 4500 d) 6000
Réponse c. La surface d’un trapèze est S = (B + b).h/2, il vient S = (100 + 80)*50/2 = 180*50/2 = 90*50 = 4500 m²
7.2.Propriétés classiques
Il est utile de connaître par cœur et utiliser les propriétés suivantes.
- La somme des angles d’un triangle vaut 180° ou ∏/2.
- Ø Théorème de Pythagore : dans un triangle rectangle en A, si si CB = a, BA = c et AC = b alors a2 = b2 + c2
- Ø Théorème de Thalès. Si deux droites D et D’ se coupent en un point O, si (A, B) € D et (C, D) € D’ alors OB/OA = OD/OC = BD/AC.
- Ø Trigonométrie = relations entre des angles. Dans un triangle rectangle en A, si Θ est l’angle opposé à l’angle droit alors cos Θ = BA/BC et sin Θ = AC/BC où BC est l’hypoténuse.
Exemple 1. Le terrain de jeux de la résidence a une longueur cinq fois plus importante que sa largeur et son tour fait 840 m. Quelle est sa superficie en hectare (1 hectare = 1 ha = 10 000 m2) ?
a) 42,8 b) 54,5 c) 2,45 d) 114,5
Réponse c. Il vient (1) 2*(l + L) = 840 et (2) l = 5*L et l’on cherche S = l*L d’où (1) et (2) donnent 12*L = 840 d’où L = 840/12= 420/6 = 70 donc l = 5*70 = 350 et S = l*L = 350*70 = 35*7*100 = 245*100 = 24 500 m2 ou 2,45*10 000 = 2,45 ha.
Exemple 2. Un circuit auto et moto du sud–est a une forme circulaire. Il faut 2,5 min à une moto roulant à 168 km/h en moyenne pour terminer un tour. Quel est le rayon de ce circuit en km (arrondir) ?
a) 2,4 b) 1,10 c) 1,40 d) 0,80
Réponse b. Le tour vaut p = 2x3,14xR mais p vaut aussi 7 km ou 7000 m puisque en 60 mn on a 168 km, on aura (2,5/60)x168 en 2,5 mn soit 7km. D’où 7000 = 2x3,14xR et donc R = 7000/2x3,14 = 7000/6,28 = 3500/3,14 = 1750/1,57 = 1114 m = 1,14 km arrondi à 1,1 km.
Exemple 3. Monsieur et Madame Alba, passent quelques jours de vacances en camping avec leurs enfants, Moby et Dick. Ces derniers s’occupent quand il ne fait pas beau : Moby dessine un drapeau suisse soit un carré sur lequel est tracée une croix. La croix est obtenue par superposition de deux rectangles quatre fois plus longs que larges, dont la largeur est 3 cm. Dick colorie ce drapeau : la croix en blanc et le reste en rouge. La surface rouge est quatre fois plus grande que la surface blanche. Quel est donc le périmètre du drapeau en cm (arrondi à l’unité la plus proche) ?
a) 53 cm b) 62 cm c) 70 cm d) 80 cm
Réponse c. Faire un dessin. Pour calculer le périmètre p = 4xa, il faut connaître le coté a. Il intervient dans la surface du carré S = a2 et via la longueur l et la largeur L de la croix. Exploitons les hypothèses (1) L = 3 cm (2) l = 4xL = 4x3 = 12 cm. Soit S la surface totale, S vaut la rouge R plus la blanche B. Mais (3) R = 4xB d’où S = R + B = 4xB + B = 5xB or B = Lxl + [(l – L)xL] = Lxl + lxL – L2 = 2xLxl – L2 = 2x3x12 - 32 = 72 – 9 = 61 donc S = 5x61 = 305 mais S = a2 d’où a2 = 305 et a = 17,5 (arrondi) donc p = 4xa = 4x17,5 = 70
Exemple 4. Une échelle de 15 m de haut est posée contre un mur de 10 m de haut. Mina monte sur l’échelle et s’arrête au 3/5 prise de vertige. A quelle hauteur se trouve t-elle ? (en m)
a) 12 b) 8 c) 6 d) 9
Réponse c. Faire un dessin. Le sinus d’un angle A dans un triangle rectangle est le rapport du coté opposé sur l’hypoténuse, ici sin (A) = 10/15 = h/9 d’où h = 90/15 = 6 m. Ou en appliquant le Théorème de Thalès, on obtient 10/h = 15/9 ou h = 90/15 = 6.
Exemple 5. ABC est un triangle isocèle en C, et l’angle C vaut 40°, que vaut l’angle A ?
a) 20° b) 45° c) 80° d) 70°
Réponse d. Si ABC est un triangle isocèle en C alors les angles B et A sont identiques. De plus la somme des angles vaut 180° d’où A + B + C = 180 avec B = A soit 2*A + C = 180 or C = 40° d’où 2*A + 40 = 180 d’où 2*A = 140 et A = 70°.
VIII - Autres notions
8.1.Vitesses
Une vitesse est le rapport d’une distance que divise un temps, V = d/t donc en km/h ou en m/s. Ainsi si je roule à 108 km/h, je roule aussi à 30 m/seconde.
Exemple 1. Je pars un matin à 9 h 00, je roule à 110 km/h pendant 2h puis à 90 km/h pendant 1 h 30. Quelle distance ai – je parcouru (en km) ?
a) 275 b) 315 c) 405 d) 355
Réponse d. La distance parcourue soit 110 km/h pendant 2 h donnent 220 km et 90 km/h pendant 1 h30 donnent 90 + 90/2 = 90 + 45 = 135 kms. Soit au total 220 + 135 = 355 kms.
Exemple 2. Une moto (V1) part de Marseille (X) en direction de Montélimar (Y) à 10 h 00 et roule a 100 km/h. Une auto (V2) part de Montélimar en direction de Marseille à 10.30 et roule a 80 km/h. Les deux véhicules se croisent à 11 h 30. A quelle heure la moto arrive-t-elle à Montélimar ?
a) 12h06 b) 12h18 c) 13h00 d) 13h12
Réponse b. Le plus simple est de déterminer d’abord la distance entre X et Y. Lorsqu’ils se croisent V1 a parcouru d1 = V1*t1 et V2 a parcouru d2 = V2*t2 soit d1 = 150 kms et d2 = 80 kms donc XY = 150 + 80 = 230 kms. La moto roule à 100km/h, elle parcourt donc 230 kms en 2 h 18 mn. Si elle part à 10 h 00, elle arrive à 12 h 18.
8.2.Débits
Un débit est le ratio d’un volume que divise un temps, D = V/t donc en m cube/h ou en litre/s ou l/mn. (Si cette rivière a un débit de 1 000 l/seconde, elle a donc un débit de 1 m3/s ou 3600 m3 /heure).
Exemple 1. Ma baignoire contient 120 l d’eau. Le robinet fourni 15 l par minutes. Je souhaite prendre un bain avec une baignoire remplie à 75 %. En combien de temps la baignoire sera elle remplie ?
a) 10 mn b) 6 mn c) 12 mn d) 8 mn
Réponse b. Je veux mettre 0.75*120 l dans la baignoire soit ¾*120 ou 90 l. Le robinet délivre 15 l/mn donc la baignoire est remplie en 90/15 = 2*5*9/3*5 = 6 mn. J’ai le temps de me raser pendant que la baignoire se remplie.
Exemple 2. Un aquarium en forme de parallélépipède rectangle a une longueur de 2 m, une largeur de 80 cm et une profondeur de 60 cm. En combien de temps le remplira-t-on si le débit du robinet est de 0,2 litre/seconde ?
a) 1 h 50 mn b) 0 h 55 mn c) 1 h 20 mn d) 2 h 10 mn
Réponse c. Le volume est de V = 2*0,8*0,6 = 0,96 m3 ou V = 960 litres (1 m3 = 1 000 litres). Le temps de remplissage en minutes est donc de t = 960/0,2*60 = 80 minutes ou 1 h 20 mn.
8.3.Rendements
Un des exercices les plus délicats, car parfois difficile à « visualiser ». Une action est réalisée en un temps T par x personnes. En combien de temps sera-elle réalisée par une seule personne connaissant le rendement des diverses personnes ? Une manière de traiter est de prendre comme référence la personne la plus lente.
Exemple 1. Ella a tout un week-end pour elle. Elle tond sa pelouse en 2 h 30. Si elle travaille avec Joan son colocataire, la pelouse sera tondue en 1 h 30. Mais Ella partant en vacances, dans un mois, Joan sera seul pour ce travail. Combien de temps mettra-t-il ?
a) 2 h 00 b) 2 h 45 c) 1 h 30 d) 3 h 45
Réponse d. Tout traduire en minutes. Résoudre en considérant la diminution de temps apportée par Joan, en déduire sa contribution et calculer le temps qu’il mettra seul. A deux les colocataires mettent 90 minutes, Ella seule met 150 minutes. L’apport de Joan permet de diminuer le temps de D = (90 – 150)/150 = -60/150 = -6/15 = -2/5 = - 0.40 ou 40 % ou 4/10 ou 2/5. La contribution d’Ella est donc de 60 % soit6/10 ou 3/5. Donc Ella travaille comme 1,5. Joan (3/2.2/5 = 3/5) soit (1 + 1,5). Joan ou 2,5. Joan tondent en 90 mn alors 1. Joan tondra en 2,5.90 = 225 mn ou 3h45mn.
Exemple 2. Max et Lola lavent d'habitude leur auto en 30'. QUAND Sonia vient les aider ELLE travaille deux fois plus vite que Max. Sachant en outre que Lola est trois fois plus active que Max. Voyant cela Max découragé, laisse les deux filles laver la voiture. Combien mettent - elles de temps ?
a) 28' b)22' c)24' d)18'
Réponse c. Le plus lent est donc Max avec L = 3.M et S = 2.M or M + L lavent en 30' soit M + 3.M = 4.M en 30' soit M en 120' donc S + L = 5.M et laveront en 120'/5 = 24'.
Exemple 3. Pour repeindre un chalet Léa met moitié de temps que Max qui va deux fois plus vite que Sacha. Max met 6h pour repeindre un chalet. Combien de temps mettent ils tous ensemble ?
a) 6 b) 4 c) 9 d)3
Réponse d. Le plus lent est Léa (L) ou Sacha (S) puisque L = M/2 et M = 2.S donc S = L = M/2, ensemble cela donne M + L + S soit M + M/2 + M/2 = 2.M or M met 6h donc ensemble ils mettront 6/2= 3h.
Exemple 4. Samy réalise 18 plateaux de petits fours en 40'. Ted et Léa, qui sont encore stagiaires, vont trois fois moins vite que Samy. A eux trois en combien de temps termineront – ils les plateaux ?
a) 18' b)24' c)20' d)16'
Réponse b. Le plus lent est Ted (T) ou Léa (L) selon T = L = S/3, ensemble cela donne T + L + S soit S/3 + S/3 + S = 5/3*S or S met 40' donc ensemble ils mettront 40/5/3 soit 40.3/5 = 24'.
8.4.Dénombrement
Il s’agit de compter des quantités sans rentrer dans les détails mais en utilisant des formules et/ou son bon sens.
Exemple 1. Un restaurant propose 3 entrées, 4 plats, 2 fromages et 3 desserts. Combien de repas sont possibles avec exactement 1 entrée, 1 plat, 1 fromage et 1 dessert ?
a) 36 b) 72 c) 24 d) 56
Réponse b. Exercice de dénombrement classique. Il y a 3 manières de choisir une entrée, 3*4 manières de choisir une entrée Et un plat etc. Donc au total 3x4x2x3 = 72 manières de choisir l’ensemble.
Exemple 2. Combien peut – on former d’anagrammes (mot ayant les mêmes lettres mais pas forcément un sens en français) avec le mot TRAIN ?
a) 110 b) 20 c) 120 d) 80
Réponse c. Faire un arbre pour compter ou voir que si une lettre est placée (et 5 choix possibles dans T, R, A, I et N) reste 4 possibilités (les choix R, A, I et N si T en premier par exemple), si deux sont placées reste 3 possibilités etc. donc n = 5x4x3x2x1 = 120. On trouvera : TARIN, RINAT, INART etc.
Exemple 3. Une course de lamas dans les Andes compte 5 partants. De combien de manières différentes est-il possible de parier un tiercé dans l’ordre ?
a) 60 b) 48 c) 125 d) 36
Réponse a. Il y a 5 possibilités de choisir le premier, puis 4 possibilités de choisir le second et enfin 3 possibilités de choisir le 3ème, au total 5*4*3 = 60 possibilités.
Exemple 4. Le téléphone portable de Gabriel possède 7 menus avec chacun 9 sous-menus comportant chacun 3 possibilités. En tombant dans l’eau le logiciel interne est endommagé et 1/3 des possibilités sont inopérantes. Combien en reste t’il qui fonctionnent ?
a) 86 b) 126 c) 136 d) 63
Réponse b. T = 2/3x(7x9x3) = 2x(7x9x3)/3 = 2x7x9 = 126.
Exemple 5. Jim se souvient quasi par cœur du numéro de portable de son amie sauf les deux derniers chiffres. Combien de numéros possibles cela fait il sachant qu’il n’y a ni le 3 ni le 8 dans les chiffres manquants ?
a) 18 b) 78 c) 104 d) 64
Réponse d. Il y a (10 – 2)x(10 – 2) possibilités donc 64. En effet si XY est la combinaison des deux derniers chiffres, X peut prendre 8 valeurs et Y aussi.
8.5.Statistique/Probabilité (moyenne, arbre)
Concernant les statistiques, la connaissance du calcul des moyennes est suffisante (voir plus haut). Pour les probabilités l’exemple classique est le tirage de boules avec ou sans remises. Pouvoir constituer un arbre de probabilité et savoir l’interpréter (probabilités simples, totales ou conditionnelles selon les branches).
Rappels sur les probabilités
- p (AUB) = p (A) + p (B) - p (A Ω B)
- Deux événements A et B sont indépendants si p(A Ω B) = p(A). p(B).
- Deux événements A et B sont incompatibles si p(A Ω B) = 0.
- Probabilité conditionnelle : Si un événement B survient après A et qu’il dépend de A alors PA(B) = p(A Ω B)/p(A)
- Probabilité totale. Sur un arbre de probabilité, nous avons:
Exemple 1. Une entreprise de montres possède trois unités de production. La première unité fabrique 25% des montres dont 5 % sont défectueuses. La deuxième fabrique 35% des montres dont 7% sont défectueuses. Enfin, la troisième fabrique 40% des montres dont 10% sont défectueuses. Quel est le pourcentage de montres défectueuses sur la totalité de la production de l’entreprise ?
a) 6,3% b) 7,7% c) 8,7% d) 9,1%
Réponse b. Faire un arbre de probabilité. P(D) = 0,05*0,25 + 0,07*0,35 + 0,40*0,10 = 0,077 soit 7,7%
Exemple 2. Dans une maternité deux bébés Lola et Lulu sont susceptibles de crier en même temps de manière indépendante. La probabilité que Lola crie est de 70%, celle que Lulu crie est de 90%. Il fait nuit, quelle est la probabilité qu’ils crient en même temps ?
a) 0,58 b) 0,84 c) 0,63 d) 1,05
Réponse c. Les événements sont indépendants donc p (A ? B) = p(A)*p(B) = 0,70*0,90 = 0,63
8.6 Suites (arithmétiques et géométriques)
Se rappeler des définitions, elles sont simples. La suite arithmétique est souvent utilisée sous forme de sa somme, la suite géométrique pour des calculs d’accroissements annuels comme les intérêts simples ou composés.
Suite arithmétique = suite de nombres dont la différence de 2 nombres consécutifs (2 nombres qui se suivent) est constante. La suite la plus simple est la suite des entiers naturels, la différence de 2 entiers naturels est constante puisqu’elle vaut 1 (Notation Un + 1 - Un = (n + 1) – n = n + 1 – n = 1). Un autre exemple est Un = 3*n + 7 puisque Un + 1 - Un = 3*(n + 1) + 7 – (3*n + 7) = 3.
Exemple. La somme de 3 entiers consécutifs vaut 54. Que vaut le plus grand ?
a) 16 b) 19 c) 15 d) 17
Réponse b. Si les 3 entiers sont consécutifs, appelons n le plus petit alors n + (n + 1) + (n + 2) = 54 donc 3*n + 3 = 54 et n + 1 = 54/3 = 18 d’où n = 17 par conséquent le plus grand, n + 2 vaut 17 + 2 = 19.
Suite géométrique = suite de nombres dont le rapport de 2 nombres consécutifs (2 nombres qui se suivent) est constant. Par exemple Un = 7n puisque Un + 1 / Un = 7n+1 /7n = 7.
Exemple 2. Mika constate que sa facture d’électricité a augmenté de 5% chaque année sur 5 ans. Au bout des 5 ans quelle est l’augmentation totale ?
a) 15% b) 22% c) 28% d) 30%
Réponse c. Soit P0 le montant de la facture initiale. Après 1 an avec une augmentation de 5% le nouveau montant est P1= P0 + 0,05*P0 = 1,05* P0, au bout de deux ans P2= 1,05* P1 = 1,052* P0 etc. jusqu’à la 5ème année soit P5 = 1,055* P0 d’où une augmentation de A = (P5 - P0)/P0 = (1,055* P0- P0)/P0 = 1,055 – 1 = 1,276 – 1 = 0,276 arrondi à 0,28 soit 28%.