Notions fondamentales - Section Calcul (1/2)
I - Introduction : le contexte, la notation, conseils de stratégie
II - Bases de calcul numérique
III - Puissances
IV - Identités remarquables, 1er, second et 3ème degré
I - Introduction : Le contexte, la notation, conseil de stratégie
Si vous lisez jusqu’au bout et faites TOUS les exercices sans regarder la solution alors cette épreuve n’aura plus aucun secret pour vous. Pour compléter entrainez-vous sur les questions de la fin de ce manuel.
La plupart des questions posées dans cette partie vous paraîtront d’autant plus simples que vous maîtriserez le calcul mental, des notions simples de 4ème à seconde et les éléments qui suivent. Les questions ne sont pas si difficiles mais font souvent appel à plusieurs notions à la fois. Lisez toute la question. Faites des schémas si cela vous aide. Indiquez des lettres et/ou des annotations pour « modéliser » ce que vous comprenez. Enfin n’oubliez pas qu’un simple test à partir des réponses peut éviter des calculs longs et inutiles.
Sachez identifier quelles sont les notions à utiliser. L’exemple ci – dessous fait appel à la définition du périmètre d’un triangle rectangle, un calcul de surface, à deux identités remarquable et à un système d’équation :
« Quelle est la surface d’un triangle rectangle dont l’hypoténuse a une longueur de 10 m et le périmètre vaut 24 m ?
a) 20 b) 32 c) 24 d) 28
Pas de panique, chaque notion est simple, il suffit de procéder pas à pas. Soit b la base du triangle et a le coté droit. La surface vaut S = a*b/2, le périmètre vaut p = 24 = 10 + a + b ou a + b = 14. Est-ce suffisant ? Non. Utilisons alors le fait que l’hypoténuse a une longueur de 10 m, alors 10² = a² + b². Est – on plus avancé maintenant ? Bien sûr puisque l’on cherche a*b pour commencer et que (a + b)² = a² + b² + 2*a*b, en remplaçant 14² = 10² + 2*a*b d’où a*b = (14² - 10²)/2 or a² - b² = (a – b)*(a + b) donc a*b = (14 -10)*(14 + 10)/2 = 4*24/2 = 48 et S = a*b/2 = 48/24 = 24.
Souvenez vous que la notation est la suivante : bonne réponse : +4, pas de réponse : 0, mauvaise réponse : -1. Donc il vaut mieux parfois ne pas répondre que répondre faux.
Si vous vous habituez à faire 4 ou 5 exercices sur chaque notion, répondre correctement aux 15 questions de la partie « Calcul » sera presque une formalité…si vous gérez bien votre temps. Comment faire ? Lisez toute les questions, rapidement notez chaque question selon F = « facile » ou D= « difficile ». Accumulez des points sur les F puis abordez les D.
Enfin, pour avancer vite dans cette partie rappelez vous que :
- - les problèmes sur les âges se résolvent par des équations ou test des réponses ;
- - les problèmes faisant appel à des rendements se résolvent en prenant le « maillon faible » ;
- - les exercices de probabilité supposent de faire un arbre de probabilité et de savoir l’exploiter;
- - une vitesse moyenne n’est pas forcément la moyenne des vitesses mais distance totale/temps total.
II - Bases de calcul numérique
Les nombres sont composés des dix chiffres 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, comme les mots sont composés de lettres. « 1245 » est un nombre composé des chiffres 1, 2, 4 et 5.
- Vous devez maîtriser toutes vos tables de multiplication jusqu'à celle de 10.
- Tiens de tête 14*22, combien ? Il suffit de faire 14*20 + 14*2 puisque 14*22 = 14*(20 + 2), on obtient alors 280 + 28 = 308, facile non ?
- connaître les carrés et les cubes des nombres de 1 à 12 : De nombreux exercices les utilisent, que ce soit directement ou sous forme de formule de type a² + b² ou (a – b)² etc., il faut donc savoir les reconnaître rapidement.
|
A |
1 |
2 |
3 |
4 |
5 |
6 |
7 |
8 |
9 |
10 |
11 |
12 |
|
A2 |
1 |
4 |
9 |
16 |
25 |
36 |
49 |
64 |
81 |
100 |
121 |
144 |
|
A3 |
1 |
8 |
27 |
64 |
125 |
216 |
343 |
512 |
729 |
1000 |
1331 |
1728 |
2 .1. Unités : temps, distances, masses, capacités, etc
a) Les temps
L’unité de temps est la seconde mais l’utilisation la plus courante est l’heure avec 1 heure = 60 minutes et 1 mn = 60 secondes donc 1 heure = 60*60 = 3600 secondes. Rappelez vous qu’une heure = 60*60 = 3 600 secondes et 1 jour = 24 h = 24*60 = 1 440 minutes. Et en une année combien d ‘heures ? Facile, si elle n’est pas bissextile, elle a 365 jours donc 365*24 = 8760 heures.
Vous aurez à calculer des durées entre deux dates ou évaluer des temps entre des moments de la journée. Apprenez à le faire et vous arriverait peut – être à l’heure :o)
Les années « normales » font 365 jours, tous les 4 ans apparaît une année bissextile qui fait 366 jours. Les mois font 28, 29, 30 ou 31 jours en commençant par janvier (31 jours), février (28 ou 29 jours si année bissextile) puis mars (31 jours), avril (30 jours) et alternance 31/30 jours (seule exception: Juillet et Août font 31 jours, l'alternance recommence dès septembre: 30 jours). Décembre fait 31 jours.
Exemple 1. Maxime a oublié de régler un PV dont la date limite de réponse était le 24 avril 2010. Combien de jours se sont écoulés si nous sommes le 15 mars 2011 ?
a) 328 b) 325 c) 372 d) 322
Réponse b. Faire un schéma. On remarque que la durée est inférieure à un an donc éliminer « c ». Du 24 avril 2010 au 24 avril 2011, il y aurait 365 jours. Entre le 15 mars 2011 et le 24 avril 2011 il y a 40 jours (mars a 31 jours) au total il y a donc 365 – 40 = 325 jours.
Exemple 2. Je souhaite rendre visite à une amie et je prends le train de 12.47 à Cesticimaville. Or elle ne peut venir me chercher à la gare qu’aux heures rondes + 15 mn car elle vient en bus. Le trajet dure 2 h 15 en train. A quelle heure doit-elle prévoir l’horaire du bus le plus proche de mon arrivée sachant qu’il y a 30 mn de trajet en bus depuis chez elle ?
a) 12 h 45 b) 14 h 45 c) 13 h 55 d) 14 h 25
Réponse b. J’arrive à 12 h 47 + 2 h 15 = 14 h 62 ou 15 h 02. Mon amie ne pourra être là au plus tôt qu’à 15 h 15 et devra donc partir à 15 h 15 – 30 = 14 h 45 de chez elle.
b) Les distances
L’unité de distance est le mètre (m) mais le plus courant est le kilomètre avec 1 km = 1 000 mètres et 1 hm = 100 m et 1 dm = 10 cm . De même 1 m = 100 cm d’où 1 km = 1 000 m = 100 000 cm.
La notion d’échelle apparaît souvent, il s’agit du rapport entre la distance dans la réalité et la distance sur la carte. Par exemple une échelle au 1/25000ème signifie que 1cm sur la carte représente 25 000cm dans la réalité soit 25000/100 = 250 m. Si je mesure 12 cm sur cette carte, la distance est donc de 12*250 = 3000 m ou 3km.
Exemple. Sur ma carte il me reste 5 km pour parvenir au village de Tropsoif lors d’une course d’orientation. L’échelle de la carte est de 1/25.000ème. Par combien de cm sont représentés ces 5 kms sur ma carte ?
a) 20 b) 120 c) 250 d) 50
Réponse a. Sur ma carte 1 cm = 25.000 cm ou 250 m or 5 kms = 5 000 m et la distance sera de 5000/250 soit 20 cm.
c) Les masses
L’unité de masse est le gramme mais le plus courant est le kg avec 1 kg = 1 000 g et 1 tonne = 1 000 kg donc 1 tonne = 1000*1000 = 1 million de g. Beaucoup d’autres unités existent, par exemple chez les anglais 1 livre vaut environ 450 g.
Exemple. Ma balance m’indique 75 kg, la masse de ma voiture est de 950 kg. J’ai fait un plein d’essence ce qui rajoute 50 kg et je pars avec 40 kg de bagage. Le poids maximum autorisé en charge est de 1 tonne et 200 kg. Quelle est la différence entre la masse totale autorisée et la masse effectivement embarquée ?
a) 1115 b) 1085 c) 885 d) 995
Réponse c. Il faut donc comparer la masse totale avec 1,2 t = 1 200 kg. Or nous avons une masse embarquée de 75 + 950 + 50 + 40 = 1 115 kg. La différence est donc de 1200 – 1115 = 85 kg, il y a de la marge.
d) Les volumes
L’unité de volume est le litre mais le plus courant est le mètre cube avec 1 mètre cube = 1 m3 = 1 000 litres. Savoir aussi que 1 litre = 100 cl donc 1 m3 = ? cl (100.000 cl n’est ce pas ?).
Exemple 1. Je tombe en panne, mon auto chauffe, il n’y a plus de liquide de refroidissement. Heureusement il y a une fontaine sur la place du village et j’ai un gobelet. Combien de gobelets de 25 cl faudra-t-il pour remplir le réservoir de liquide de refroidissement de ma vieille voiture ? (Contenance du réservoir : 8 litres).
a) 28 b) 36 c) 32 d) 40
Réponse c. Les 8 litres font 800 cl et 800/25 font 5*5*32/5*5 donc 32 gobelets.
Exemple 2. Une citerne de camion, pleine de vin, de forme cylindrique, de 10 m de long, 2 m de haut, de rayon 1 m s’est renversée sur la route. Elle y perd tout son contenu. A combien de bouteilles de 75 cl de vin cela correspond-t-il ?
a) 67 466 b) 16 457 c) 24 867 d) 41 867
Réponse d. Calculer le contenu V de la citerne. Diviser par la contenance d’une bouteille. Attention aux conversions (1 l = 100 cl donc 75 cl = ¾ l et 1 m3 = 1000 l). Se rappeler que le volume d’un cylindre de hauteur h et de rayon R est V = 3,14xR2xh soit ici V = 3,14x12x10 = 3,14x10 = 31,4 m3 = 31 400 l donc n = 31 400 /3/4 = (31 400x4)/3 = 41 866,66 arrondi à 41 867 bouteilles. Une belle cave…
Exemple 3. La masse volumique de l’or est de 19 kg/dm3. Quelle est la masse d’une pépite d’or pur occupant un cube de 1 cm de coté ?
a) 19 kg b) 1.9 kg c) 190 g d) 19 g
Réponse d. Le volume du cube est V = 1*1*1 = 1 cm3 or 1 dm3 = 1 000 cm3 et 19 kg = 19 000 g donc : le cube contient 19 000/1 000 = 19 g d’or.
2.2. Les nombres
A) Critères de divisibilité
La base est de savoir simplifier des fractions en faisant apparaître les mêmes chiffres ou les mêmes nombres en haut (= le numérateur) et en bas (= le dénominateur). Pour cela il est utile de savoir par quels nombres un nombre est divisible :
|
un nombre est divisible par 2 SI |
il est pair donc se termine par 0, 2, 4, 6 ou 8 |
|
un nombre est divisible par 3 SI |
la somme de ses chiffres est un multiple de 3 |
|
un nombre est divisible par 5 SI |
il se termine par 0 ou 5 |
|
un nombre est divisible par 6 SI |
il est divisible par 3 et est pair |
|
un nombre est divisible par 9 SI |
la somme de ses chiffres est un multiple de 9 |
|
un nombre est divisible par 10 SI |
il se termine par 0 |
|
un nombre est divisible par 11 SI |
Là c’est plus compliqué. Il faut que la différence entre la somme des chiffres de rang impair et la somme des chiffres de rang pair soit un multiple de 11 (même négatif). Par exemple, prenons N=18273904. On calcule (1+ 2 + 3 + 0) – (8 + 7 + 9 + 4) = 6 – 28 = -22 = -2*11 donc N est divisible par 11. Les nombres qui respectent cette règle sont divisibles par 11. Cependant, attention, d'autres nombres tels que 704 ne respectent pas cette règle mais sont pour autant divisible par 11. |
Exemple 1. Lequel de ces nombres est divisible par 6?
a) 496 b) 246 c) 589 d) 634
Réponse b. Pour être divisible par 6 il faut être divisible par 2 (ce qui élimine 589) et par 3 (ce qui élimine 496 et 634), il s’agit donc de 246, en effet 246 = 2*123 et 246 = 3*82.
Exemple 2. Une fois simplifiée, que vaut la fraction S = 12486/726 ?
a) 6133/727 b) 1135/29 c) 1777/454 d) 2081/121
Réponse d. Essayons : 12486 est divisible par 2 et 3 donc aussi par 6. 726 est divisible par 2 et 3 donc aussi par 6. D’où S = 2081/121 que l’on ne peut pas simplifier davantage car S = 697*3/11*11 et 697 n’est pas divisible par 11.
Exemple 3. Simplifier le plus possible G = 26136/5544
a) 33/7 b) 35/9 c) 7/33 d) 25/7
Réponse a. Regrouper par puissance des nombres impliqués. Organiser par nombres croissants puis simplifier. G est divisible par 2,3 7 et 11 selon G = 33x112x23/7x2x32x11x22 = 23x33x112/23x32x7x11 = 3x11/7 = 33/7
B) Les nombres premiers
Un nombre premier est un nombre ayant uniquement deux diviseurs distincts: 1 et lui-même. Ainsi 0 et 1 ne sont pas premiers puisque 0 à une infinité des diviseurs et 1 en aurait deux s’il était premier.
Un nombre qui n’est pas premier est dit composé. Par exemple 12 ne peut être premier puisque ses diviseurs sont 1, 2, 3, 4, 6 et 12, il est donc composé.
Il faut savoir retrouver les nombres premiers de 2 à avant 100 : 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, 41, 43, 47, 53, 59, 61, 67, 71,73, 79, 83, 89 et 97.
Il est intéressant de remarquer que tout nombre se décompose en nombres premiers ce qui aide bien pour simplifier des fractions ou calculer des ppcm et des pgcd (voir plus loin). Ainsi 12 se décompose en 12 = 2*2*3 = 2²*3
Exemple. Combien y a-t-il de nombres premiers avant 97 ?
a) 18 b) 24 c) 22 d) 20
Réponse b. il suffit de les écrire et de les compter, il y en a 24.
C) Pgcd = plus grand commun diviseur /Ppcm = plus petit commun multiple.
Ces notions sont utiles pour simplifier des fractions ou résoudre des problèmes de rendement puisque tout nombre se décompose en nombres premiers.
Le « ppcm » est le produit de tous les facteurs affectés du plus fort coefficient.
Soit par exemple à calculer le ppcm de 210 et de 240 :
240 = 24x3x5 et 210 = 2x3x5x7 d’où ppcm (240,210) = 24x3x5x7 = 240x7 = 1680
Il sert à calculer quand deux événements (ou plus) se produiront en même temps.
Exemple 1. Pendant l'été, une camionnette de glaces passe dans la rue de Mamiko tous les 4 jours et une camionnette tous les 5 jours. Si les deux camionnettes sont passées dans la rue aujourd'hui, quand sera la prochaine fois où les deux camionnettes repasseront le même jour?
a) 12 b) 20 c) 22 d) 26
Réponse b. Les deux camionnettes passeront dans sa rue dans 20 jours soit ppcm(4,5) = 2²*5 =20, en effet les passages sont :
camionnette |
jours de visite |
|
Première |
4, 8, 12, 16, 20, 24, 28, 32, 36, 40, 44, 48, ... |
|
Deuxième |
5, 10, 15, 20, 25, 30, 35, 40, 45, 50, 55, 60, ... |
Exemple 2. Deux techniciens produisent des pales d’hélicoptères. Luigi (L) en réalise une en 4 mn et Kamel (K) en 3 mn 30. Ils démarrent tous deux à 8 h précise. Ils font une pause de 5 mn quand ils terminent, pour la 1ère fois, leurs pièces en même temps. Kamel, solidaire, réduit à partir de ce moment sa cadence pour passer à 3 mn 45. La prochaine pause se produira quand ils termineront à nouveau ensemble leurs pièces. A quelle heure intervient la 1ère pause ?
a) 7h50 b) 8h28 c) 8h36 d) 9h04
Réponse b. Note : se rappeler (1) que ppcm (240,210) = 1680 et ppcm (240,225) = 3600. L travaille à 4 mn la pièce ou 240 secondes et K travaille à 3 mn 30 secondes la pièce ou 210 secondes. La pause intervenant lorsqu’ils terminent en même temps, cela revient à calculer le plus petit commun multiple ou ppcm. Après décomposition en facteurs premiers des deux nombres, le ppcm est le produit de tous les facteurs affectés du plus fort coefficient soit :
240 = 24x3x5 et 210 = 2x3x5x7 d’où ppcm (240,210) = 24x3x5x7 = 240x7 = 1680 secondes = 28 mn. La 1ère pause intervient donc à 8 h 00 + 28 mn = 8 h 28 mn.
Exemple 3. Le couloir du lycée a une longue rangée de casiers. Chaque 6ème casier contient une trousse, chaque 8ème contient un paquet de feuille et chaque 9ème casier contient un jeton de machine à boissons. Si le 1er casier contient les trois articles, quel sera le prochain casier qui les contiendra à nouveau tous les trois à la fois?
a) le 56ème b) le 68ème c) le 72ème d) le 96ème
Réponse c. Cela revient à calculer le ppcm de 6, 8 et 9 pour savoir quand nous nous retrouverons dans la situation du 1er casier, or 6 = 2*3, 8 = 23 et 9 = 32 donc ppcm (6,8,9) = 23*32 soit 8*9 ou 72.
Le « pgcd » est le produit des facteurs communs affectés du plus faible coefficient.
Soit par exemple à calculer le pgcd de 210 et de 240 :
240 = 24x3x5 et 210 = 2x3x5x7 d’où pgcd (240,210) = 2x3x5 = 30 en effet 210 = 7*30 et 240 = 8*30.
Il sert à calculer la valeur commune à deux ou plusieurs quantités.
Exemple 1. Un jardin rectangulaire a une aire de 18 m². Une autre cour rectangulaire a une aire de 81 m². Quelle est la plus grande dimension commune que peuvent avoir ces deux jardins?
a) 18 b) 7 c) 9 d) 11
Réponse c. Décomposons 18 et 81 en facteurs premiers : 18 = 2*3² et 81 = 34, le seul facteur commun est ici 3, à la plus faible puissance il s’agit de 3² soit 9.
D) Carrés, cubes
Ils reviennent dans de nombreux exercices et dans les « identités remarquables »autant les connaître par cœur, c’est assez facile :
|
Si A vaut ………….. |
1 |
2 |
3 |
4 |
5 |
6 |
7 |
8 |
9 |
10 |
11 |
12 |
|
Alors A2 vaudra….. |
1 |
4 |
9 |
16 |
25 |
36 |
49 |
64 |
81 |
100 |
121 |
144 |
|
Et A3 vaudra………. |
1 |
8 |
27 |
64 |
125 |
216 |
343 |
512 |
729 |
1000 |
1331 |
1728 |
Si vous aimez les calculs (on se sait jamais :o) : on obtient le carré de n + 1 à partir de celui de n. En effet calculons 132 à partir de 122.Puisque (n + 1)2 = (n + 1)2 = n2 + 2*n + 1 qu’il est intéressant d’écrire n2 + (n + n + 1), il vient 132 = (12 + 1)2 = 122 + (12 + 13) = 144 + 25 = 169.
Exemple 1. Quels sont les deux plus petits nombres tels que la différence de leur cube est un carré et la différence de leur carré est un cube ?
a) 7 et 11 b) 6 et 10 c) 8 et 10 d) 5 et 12
Réponse b. Tester les réponses, seule « 6 et 10 » convient puisque 103 - 63 = 1000 – 216 = 784 = 282 et 102 - 62 = 100 – 36 = 64 = 43
Exemple 2. Un ragot (une rumeur, une information non vérifiée) se propage de personne en personne, chaque jour on compte 3 fois plus de personnes au courant que le jour précédent. La population de village est de 678 personnes. En combien de jours toute la population sera-t-elle au courant ?
a) 7 b) 10 c) 4 d) 6
Réponse a. Le premier jour un seul est au courant ou 30, le 2ème jour 3 personnes sont au courant ou 31, le 3ème jour 9 personnes sont au courant ou 32 etc. Donc le nième jour le nombre de personnes au courant est de 3n-1. Or 36 = 729 donc le 7ème jour tout le village est au courant.
III - Puissances
Maitriser les puissances de 10 et les puissances de n’importe quel nombre facilite les calculs et évite de se perdre dans les très petits ou les très grands nombres.
En effet souvenez vous que an= a*a*…*a (n fois) donc par exemple a2 = a*a (2 fois) et a5= a*a* a*a*a (5 fois). Ainsi 100= 1 (par convention) puis 101 = 10 puis 102 = 100, 106 = 1.000.000 (un million) puis 109 = 1.000.000.000 (un milliard ou mille millions).
Cela « marche » aussi avec des puissances négatives : 10-1 = 1/ 101 = 1/10 = 0,1 puis 10-2 = 1/ 102 = 1/100 = 0,01 etc.
Les multiples de puissances :
Giga = 1000 millions = 109 ; Méga = 1 million = 106; kilo = 1000 = 103 ; hecto = 100 = 102 ; déca = 10 = 101 etc.
Rappel des règles
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x0 = 1 |
par exemple 20110 = 1 |
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xa . xb = xa + b |
par exemple 32 . 35 = 3 2 + 5 = 37 |
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xa . ya = (x.y)a |
par exemple 32 . 52 = (3.5)2 = 152 = 225 = 9.25 |
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(xa)b = xa.b |
par exemple (32)5 = 32.5 = 310 |
|
1 / xa = x-a |
par exemple 1 / 32 = 3-2 |
|
xa / xb = xa – b |
par exemple 35 / 32 = 35-2 = 33 = 3.3.3 = 27 |
Quelques racines à retenir (√a = a1/2 ), valeurs approchées
√2 = 1,41 ; √3 = 1,73 ; V5 = 2,23
Exemple 1. Un roi remercie un héros qui a sauvé son pays d'une terrible catastrophe. Pour le récompenser, le roi demande le poids en riz du nombre de grain sur la 64ème case suivant la loi : 2 grains sur la 1ère case d'un échiquier (à 64 cases), le double sur la seconde etc. Un grain de riz pèse 1 mg. Quel est le poids en tonnes ?
a) 10-12.264 b) 10-7.264 c) 10-9.264 d) 10-9.260
Réponse c. Comptons les grains de riz, sur la 1ère case : 2, sur la 2ème : 2*2 = 4 = 22, sur la 3ème : 2*4 = 8 =23 etc. Donc sur la 64ème, il y en a : 264 soit N = 264. La masse de ces N grains de riz est donc M = 10-3.264 g ou M = 10-9.264 tonnes.
Exemple 2. Trouvez le plus grand nombre parmi : 811, 168,, 415, 325
a) 325 b) 415 c) 168 d) 811
Réponse d. Convertir en puissances de 2 soit A = 811 = 23x11 = 233 puis B = 168 = 24x8 = 232 et C = 415 = 22x15 = 230 puis D = 325 = 25x5 = 225 donc A = 811 = 233.
Exemple 3. Lorsqu'on dit que la vitesse de la lumière est de 300 000 000 m/s on utilise un ordre de grandeur car elle est en réalité de 299 792,458 km/s. Que valent 300 000 000 m/s sous forme de puissances de 10 en m/s ?
a) 3*109 b) 0,3*109 c) 3*106 d) 3*108
Réponse d. 300 000 000 m/s font 3*100 000 000 m/S or 100 000 000 = 108 donc ici 3*108
Exemple 4. Que vaut A = 2√8 + 5√36 + √24
a) 34 + 2√3 b) 30 + √2*(4 + 2√3) c) √2*(1 + 2√3) d) 30 + √2*(1 + 2√3)
Réponse b. Se rappeler que √8 = √2*22 = 2√2. Il vient donc A = 2*2√2+ 5*6 + √22*6 = 4√2 + 30 + 2√6 = 30 + 4√2 + 2√6 = 30 + 4√2 + 2√2√3 = 30 + √2*(4 + 2√3)
Exemple 5. Que vaut A = 123/144*83 ?
a) 2/17 b) 5/43 c) 3/128 d) 5/117
Réponse c. 144 = 122 d’où A = 123/122 *83 = 12/64*8 = 3/16*8 = 3/128.
IV - Identités remarquables : 1er, second, 3eme degré
Elles vont vous aider lors de calculs un peu longs ou compliqués, elles sont à connaître par cœur soit :
(a + b)2 = a2 + b2 + 2*a*b
(a - b)2 = a2 + b2 - 2*a*b
(a + b)*(a-b) = a2 - b2
Pour aller plus loin: (a + b)3 = a3 + b3 + 3*a2*b + 3*a*b2
Exemple 1. Que vaut 0,992 ?
a) 1,101 b) 1,002 c) 0,9801 d) 1,1212
Réponse b. Remarquez que 0,99 = 1- 0,001. Alors le carré de 0,99 est le même que le carré de (1- 0,001) donc 0,99*0,99 = (1- 0,01)* (1- 0,01) = 1 - 2*0,01 + 0,01*0,01
Ou 0,992 = 1 - 0,02 + 10-4 le réponse ne peut être que: 0,9801.
Exemple 2. Que vaut 392 ?
a) 2521 b) 1721 c) 1521 d) 1321
Réponse c. 392 = (40 – 1)2 = 402 + 12 - 2*40*1 = 1600 + 1 -80 = 1521
Exemple 3. Si x2 + y2 = 208 et x.y = 58 que vaut alors x + y si x > 0 et y > 0 ?
a) 18 ou -18 b) 10 ou - 10 c) 15 d) -12
Réponse a. Il vient (x + y)2 = x2 + y2 + 2*x*y ou (x + y)2 = 208 + 2.58 = 208 + 116 = 324 = 182 donc x + y = 18 ou x + y = -18.
Exemple 4. Que vaut T = a2 + b2 - 2*a*b si a = 5 et b = - 10
a) 15 b) 27 c) 25 d) 12
Réponse c. Utiliser l’identité remarquable, a2 + b2 - 2*a*b = (a + b)2 d’où T = (a + b)2 = (5 + -10)2 = (-5)2 = 25.
Exemple 5. Deux nombres positifs a et b sont tels que le carré de leur somme vaut 81 et leur produit vaut 8. De plus a>b. Que vaut a ?
a) 1 b) 4 c) 5 d) 8
Réponse d. On a donc (a + b)2 = 81 et a*b = 8 d’où a + b = 9 et a*b = 8. Tester les solutions a = 1 et b = 8 conviennent. Ou résoudre : b = 8/a d’où a + 8/a = 9 soit a2 - 9*a + 8 = 0 d’où (a = 1 alors b = 8) ou (a = 8 et b = 1), on retient a = 8 puisque a>b.